协方差是什么

凡人 QA 2020-11-01 02:53:50 阅读(...)

在概率论和统计学中,协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况,即当两个变量是相同的情况。

在概率论和统计学中,协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况,即当两个变量是相同的情况。

协方差是什么

期望值分别为 E(X) = μ 与 E(Y) = ν 的两个实数随机变量 X 与 Y 之间的协方差定义为:

其中,E 是期望值。它也可以表示为:

直观上来看,协方差表示的是两个变量总体的误差,这与只表示一个变量误差的方差不同。

如果两个变量的变化趋势一致,也就是说如果其中一个大于自身的期望值,另外一个也大于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是正值。

如果两个变量的变化趋势相反,即其中一个大于自身的期望值,另外一个却小于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是负值。

如果 X 与 Y 是统计独立的,那么二者之间的协方差就是 0。这是因为

但是,反过来并不成立。即如果 X 与 Y 的协方差为 0,二者并不一定是统计独立的。

协方差 cov(X,Y)的度量单位是 X 的协方差乘以 Y 的协方差。而取决于协方差的相关性,是一个衡量线性独立的无量纲的数。

协方差为 0 的两个随机变量称为是不相关的。

协方差属性

如果 X 与 Y 是实数随机变量,a 与 b 不是随机变量,那么根据协方差的定义可以得到:

对于随机变量序列 X1, …, Xn 与 Y1, …, Ym,有

对于随机变量序列 X1, …, Xn,有

协方差矩阵

分别为 m 与 n 个标量元素的列向量随机变量 X 与 Y,二者对应的期望值分别为μ与ν,这两个变量之间的协方差定义为 m×n 矩阵。

两个向量变量的协方差 cov(X,Y)与 cov(Y,X)互为转置矩阵。

协方差有时也称为是两个随机变量之间“线性独立性”的度量,但是这个含义与线性代数中严格的线性独立性线性独立不同。

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