最小二乘法是什么

小白QA2020-04-13 14:30:57阅读(...)

最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。

最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

最小二乘法是什么

历史

1801 年,意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过 40 天的跟踪观测后,由于谷神星运行至太阳背后,使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星,但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年 24 岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。

高斯使用的最小二乘法的方法发表于 1809 年他的著作《天体运动论》中。

法国科学家勒让德于 1806 年独立发明“最小二乘法”,但因不为世人所知而默默无闻。

勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。

1829 年,高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明,因此被称为高斯-马尔可夫定理。(来自于 wikipedia)

适用领域:代数,数学学科

原理

在我们研究两个变量(x,y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1,y1.x2,y2… xm,ym);将这些数据描绘在 x -y 直角坐标系中,若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式 1-1)。

方法

以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢?监督学习中,如果预测的变量是离散的,我们称其为分类(如决策树,支持向量机等),如果预测的变量是连续的,我们称其为回归。回归分析中,如果只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线;对于三维空间线性是一个平面,对于多维空间线性是一个超平面。

对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了 n 组观察值(X1,Y1),(X2,Y2), …,(Xn,Yn)。对于平面中的这 n 个点,可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看,这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为:使总的拟合误差(即总残差)达到最小。有以下三个标准可以选择:

(1)用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。

(2)用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。

(3)最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外,得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

最常用的是普通最小二乘法( Ordinary Least Square,OLS):所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。(Q 为残差平方和)- 即采用平方损失函数。

最小二乘法在交通运输学中的运用

交通发生预测的目的是建立分区产生的交通量与分区土地利用、社会经济特征等变量之间的定量关系,推算规划年各分区所产生的交通量。因为一次出行有两个端点,所以我们要分别分析一个区生成的交通和吸引的交通。交通发生预测通常有两种方法:回归分析法和聚类分析法。

回归分析法是根据对因变量与一个或多个自变量的统计分析,建立因变量和自变量的关系,最简单的情况就是一元回归分析,一般式为:Y=α+βX 式中 Y 是因变量,X 是自变量,α和β是回归系数。若用上述公式预测小区的交通生成,则以下标 i 标记所有变量;如果用它研究分区交通吸引,则以下标 j 标记所有变量。而运用公式的过程中需要利用最小二乘法来求解,上述公式中的回归系数根据最小二乘法可得:

其中,式中的 X 拔是规划年的自变量值,Y 拔是规划年分区交通生成(或吸引)预测值。

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